As Incríveis Regras de L'Hospital para limites através de derivadas

       Fonte: if.usp.br

No cálculo de limites nos defrontamos diversas vezes com alguns limites do tipo  com  e  ou então  e , sendo g uma função não identicamente nula e a um número real, podendo ser  ou .

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Nesses exemplos usamos algum tipo de artifício a fim de "sair da indeterminação" do tipo  ou . Entretanto, por exemplo, em  nenhum dosartifícios vistos no cálculo de limites resolve o problema.

Coube a Bernoulli - embora a publicação tenha sido de L'Hospital, que emprestou seu nome ao feito - descobrir uma propriedade que nos permite calcular rapidamente limites desse tipo. A engenhosa descoberta consistiu em perceber que, na vizinhança de um ponto podemos comparar o quociente de duas funções com o quociente de suas derivadas, desde que determinadas hipóteses estejam satisfeitas. De maneira precisa, temos:

 Primeira Regra de L'Hospital.

Sejam f e g duas funções contínuas num intervalo I, deriváveis no interior de I, tais que  para todo x no interior de I. Seja  e suponhamos que  e que existe , finito ou infinito. Então existe  e mais ainda .

 Segunda Regra de L'Hospital.

Sejam f e g duas funções deriváveis em todo ponto x distinto de a, x pertencente a uma vizinhança V de a,  , r>0. Suponhamos que para todo  e que . Se existe , finito ou infinito, então existe  e, mais ainda, .

Com as Regras de L'Hospital muitos limites complicados são facilmente calculados. Entretanto, é preciso ter sempre o cuidado de verificar se as hipóteses estão satisfeitas.